數學瘋了!
數學它怎麼會瘋呢?
2016/1/31
階層狂想曲-複數定義篇
「驚嘆號(!)」,在數學中為「階層」符號。而「階層」的定義,是由連續正整數的乘積而來,假設n是任意正整數,則「n階層」的意思就是
n!=1×2×3×⋯×(n−1)×n 舉例來說,就是 1!=12!=1×2=23!=1×2×3=6⋮
之後階層的定義域越來越廣,不僅是正整數,衍生出常見的0!=1、又衍生出實數(例如(−0.5)!=√π),發展至今已包含所有複數(實數與虛數之和)了。而階層的通式則定義為在x軸平移−1的Gamma函數:
x!=∫∞0txe−tdt
2016/1/21
第二次數學危機
16世紀,萊布尼茲、牛頓幾乎同時發明「微積分」,但帶來的「第二次數學危機」,兩位大師在有生之年,卻無法搞定。
故事要從什麼是「變化量」說起:首先,考慮兩個函數: f1(x)=2xf2(x)=4x 2和4分別就是這兩個函數中,每個單位的變化量,因為當y=f1(x)時,x每增加1,y也增加2;當y=f2(x)時,x每增加1,y就增加4。
2015/12/16
2015/12/15
GCHQ的聖誕賀卡-第一關
台灣海峽兩岸的媒體,這幾天開始報導一則關於「英國情報機構(GCHQ)推出密碼式賀卡」,邀大家一起解謎,可以參考原始題目,筆者昨天才看到新聞,於是花了一整個昨晚解開第一關,在今早要分享。
翻譯時間:
在這個網格謎題中,每一小格不是黑色就是白色,有些黑色格子已經幫你填好作為提示。
In this type of grid-shading puzzle, each square is either black or white. Some of the black squares have already been filled in for you.
每個行、列都有標記一串數字,這些數字表示黑格子的連續數目,而且按順序排列。例如:標記「2 1 6」代表有3組黑格子──2格連續、1格和6格連續,且各組之間至少有一個白色格子作分隔。
Each row or column is labelled with a string of numbers. The numbers indicate the length of all consecutive runs of black squares, and are displayed in the order that the runs appear in that line. For example, a label "2 1 6" indicates sets of two, one and six black squares, each of which will have at least one white square separating them.
翻譯時間:
在這個網格謎題中,每一小格不是黑色就是白色,有些黑色格子已經幫你填好作為提示。
In this type of grid-shading puzzle, each square is either black or white. Some of the black squares have already been filled in for you.
每個行、列都有標記一串數字,這些數字表示黑格子的連續數目,而且按順序排列。例如:標記「2 1 6」代表有3組黑格子──2格連續、1格和6格連續,且各組之間至少有一個白色格子作分隔。
Each row or column is labelled with a string of numbers. The numbers indicate the length of all consecutive runs of black squares, and are displayed in the order that the runs appear in that line. For example, a label "2 1 6" indicates sets of two, one and six black squares, each of which will have at least one white square separating them.
2015/11/30
第一次數學危機
整數在數線上的分佈是分散的,套個數學專有名詞,整數有「離散性」。離散性的意思:就是任意兩個不同整數之間的差距,都能保證會大於或等於某個距離。就整數而言,這個距離就是1。
於是很久很久以前,數學家在想,那些不能用整數表示的,是真的存在嗎?像是0和1之間,還有數字嗎?其實答案並不難,例如把1對折成2份,就得到兩個1/2,而1/2是一個真實的數字,還可以跟布店老闆說要買「半呎布」,如果老闆有些數學常識,並不會因為當中的「半呎」而無法量出這樣的長度。
於是很久很久以前,數學家在想,那些不能用整數表示的,是真的存在嗎?像是0和1之間,還有數字嗎?其實答案並不難,例如把1對折成2份,就得到兩個1/2,而1/2是一個真實的數字,還可以跟布店老闆說要買「半呎布」,如果老闆有些數學常識,並不會因為當中的「半呎」而無法量出這樣的長度。
2015/11/29
被跳過的正五邊形
「尺規作圖」是用沒有刻度的直尺和圓規,以「直線」與「圓」(包含「弧」)所組合出的平面幾何,尺規作圖有兩種基本功:「中垂線」與「角平分線」,中垂線能垂直的平分任意線段,角平分線能平分任意銳角,藉由「中垂線」與「角平分線」的幫助,我們可以輕易的作出正三角形、正方形、正六邊形,甚至高斯還能畫出正十七邊形,成為令人津津樂道的數學傳奇。那正五邊形呢?學校好像沒教到正五邊形怎麼畫呢!
2015/10/28
費氏數列-等比推導篇
在《費氏數列-矩陣推導篇》介紹過費氏數列:1,1,2,3,5,8,13,21,…,以及使用「線性代數」的數學知識,求出Fn的通式,對於沒修過「線性代數」或「矩陣」的讀者來說不容易理解,這篇會用台灣教育的國中程度能夠一目了然的方法,求出Fn的通式。
定義一個「類費氏數列F′」,擁有與費氏數列「後項是前兩項之和」的特質,但起始值為a1與a2,也就是
F′1=a1F′2=a2F′3=F′1+F′2=a1+a2F′4=F′2+F′3=a2+(a1+a2)=a1+2a2F′5=F′3+F′4=(a1+a2)+(a1+2a2)=2a1+3a2⋮
2015/10/26
費氏數列 - 黃金比例篇
費波那契數列:1,1,2,3,5,8,13,21,…,規則是後項是前兩項之和,也就是當整數n>2時,Fn=Fn−1+Fn−2。假設G數列是費波那契數列的「前後項比值」,如下:
11,21,32,53,85,138,2113,…
2015/9/14
整數中的女神:完美數
6是個「完美數」,因為6很美妙的等於除自己之外的因數總和:6=1+2+3,第2個完美數是28,因為28=1+2+4+7+14,那第3個完美數是誰呢?這樣美麗的性質,是不是有一種衝動想探索她們的蹤影?
2015/9/10
費氏數列 - 矩陣推導篇
接觸數列時,老師應該都會提到一組特別的數列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...,這就是有名的費波那契數列,或簡稱為費氏數列,規則是後項是前兩項之和,數學式表達為
{F1=1,F2=1Fn=F(n−1)+F(n−2),n=3,4,5,...
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