階層狂想曲-複數定義篇

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　　「驚嘆號(!)」，在數學中為「階層」符號。而「階層」的定義，是由連續正整數的乘積而來，假設$n$是任意正整數，則「$n$階層」的意思就是
$$n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times (n - 1) \times n$$ 舉例來說，就是 $$\begin{eqnarray} 1! &=& 1 \\ 2! &=& 1 \times 2 = 2 \\ 3! &=& 1 \times 2 \times 3 = 6 \\ &\vdots& \end{eqnarray}$$
之後階層的定義域越來越廣，不僅是正整數，衍生出常見的$0! = 1$、又衍生出實數(例如$(-0.5)! = \sqrt{\pi})$，發展至今已包含所有複數(實數與虛數之和)了。而階層的通式則定義為在$x$軸平移$-1$的Gamma函數：
$$x! = \int_0^\infty t^x e^{-t} dt$$

第二次數學危機

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　　16世紀，萊布尼茲、牛頓幾乎同時發明「微積分」，但帶來的「第二次數學危機」，兩位大師在有生之年，卻無法搞定。

　　故事要從什麼是「變化量」說起：首先，考慮兩個函數： $$\begin{eqnarray} f_{1}(x) &=& 2x \\ f_{2}(x) &=& 4x \end{eqnarray}$$ 2和4分別就是這兩個函數中，每個單位的變化量，因為當$y = f_{1}(x)$時，$x$每增加1，$y$也增加2；當$y = f_{2}(x)$時，$x$每增加1，$y$就增加4。為了看起來很專業，用成數學符號表示： $$\frac{dy}{dx}$$ $dx$與$dy$分別代表著$x$很微小的變化值與相對應$y$的變化值，例如上面的$y = f_{1}(x)$與$y = f_{2}(x)$變化量2、4，可以用定義求得： $$\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} &=& \frac{f_{1}(x + dx) - f_{1}(x)}{dx} = \frac{2(x + dx) - 2x}{dx} = 2 \\ \frac{dy}{dx} &=& \frac{f_{2}(x + dx) - f_{2}(x)}{dx} = \frac{4(x + dx) - 4x}{dx} = 4 \end{eqnarray}$$

說謊會被雷公打

　　今天晚上，台灣插畫家Duncan畫了一幅有趣的插畫「說謊」，搏得眾網友慧心一笑，但也有不少認真魔人嚴肅的討論圖中的邏輯問題。

　　大人告訴小孩：「說謊會被雷公打喔。」結果自己卻被雷劈，代表這句是大人騙小孩用的，所以大人說了謊被雷公狠狠的教訓。等等，所以「說謊真的會被雷公打」是真的喔！那大人就沒有說謊了啊，雷公幹嘛打他？

GCHQ的聖誕賀卡-第一關

　　台灣海峽兩岸的媒體，這幾天開始報導一則關於「英國情報機構(GCHQ)推出密碼式賀卡」，邀大家一起解謎，可以參考原始題目，筆者昨天才看到新聞，於是花了一整個昨晚解開第一關，在今早要分享。

翻譯時間：
　　在這個網格謎題中，每一小格不是黑色就是白色，有些黑色格子已經幫你填好作為提示。
    In this type of grid-shading puzzle, each square is either black or white. Some of the black squares have already been filled in for you.
　　每個行、列都有標記一串數字，這些數字表示黑格子的連續數目，而且按順序排列。例如：標記「2 1 6」代表有3組黑格子──2格連續、1格和6格連續，且各組之間至少有一個白色格子作分隔。
    Each row or column is labelled with a string of numbers. The numbers indicate the length of all consecutive runs of black squares, and are displayed in the order that the runs appear in that line. For example, a label "2 1 6" indicates sets of two, one and six black squares, each of which will have at least one white square separating them.

第一次數學危機

　　整數在數線上的分佈是分散的，套個數學專有名詞，整數有「離散性」。離散性的意思：就是任意兩個不同整數之間的差距，都能保證會大於或等於某個距離。就整數而言，這個距離就是1。

　　於是很久很久以前，數學家在想，那些不能用整數表示的，是真的存在嗎？像是0和1之間，還有數字嗎？其實答案並不難，例如把1對折成2份，就得到兩個1/2，而1/2是一個真實的數字，還可以跟布店老闆說要買「半呎布」，如果老闆有些數學常識，並不會因為當中的「半呎」而無法量出這樣的長度。

被跳過的正五邊形

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　　「尺規作圖」是用沒有刻度的直尺和圓規，以「直線」與「圓」(包含「弧」)所組合出的平面幾何，尺規作圖有兩種基本功：「中垂線」與「角平分線」，中垂線能垂直的平分任意線段，角平分線能平分任意銳角，藉由「中垂線」與「角平分線」的幫助，我們可以輕易的作出正三角形、正方形、正六邊形，甚至高斯還能畫出正十七邊形，成為令人津津樂道的數學傳奇。那正五邊形呢？學校好像沒教到正五邊形怎麼畫呢！

費氏數列-等比推導篇

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　　在《費氏數列-矩陣推導篇》介紹過費氏數列：$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \dots$，以及使用「線性代數」的數學知識，求出$F_{n}$的通式，對於沒修過「線性代數」或「矩陣」的讀者來說不容易理解，這篇會用台灣教育的國中程度能夠一目了然的方法，求出$F_{n}$的通式。

　　定義一個「類費氏數列$F'$」，擁有與費氏數列「後項是前兩項之和」的特質，但起始值為$a_{1}$與$a_{2}$，也就是
$$\begin{eqnarray} F'_{1} &=& a_{1} \\ F'_{2} &=& a_{2} \\ F'_{3} &=& F'_{1} + F'_{2} = a_{1} + a_{2} \\ F'_{4} &=& F'_{2} + F'_{3} = a_{2} + (a_{1} + a_{2}) = a_{1} + 2a_{2} \\ F'_{5} &=& F'_{3} + F'_{4} = (a_{1} + a_{2}) + (a_{1} + 2a_{2}) = 2a_{1} + 3a_{2} \\ &\vdots& \end{eqnarray}$$

費氏數列 - 黃金比例篇

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　　費波那契數列：$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \dots$，規則是後項是前兩項之和，也就是當整數$n > 2$時，$F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2}$。假設$G$數列是費波那契數列的「前後項比值」，如下：
$$\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8}, \frac{21}{13}, \dots$$

整數中的女神：完美數

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　　6是個「完美數」，因為6很美妙的等於除自己之外的因數總和：$6 = 1 + 2 + 3$，第2個完美數是28，因為$28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14$，那第3個完美數是誰呢？這樣美麗的性質，是不是有一種衝動想探索她們的蹤影？

費氏數列 - 矩陣推導篇

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　　接觸數列時，老師應該都會提到一組特別的數列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...，這就是有名的費波那契數列，或簡稱為費氏數列，規則是後項是前兩項之和，數學式表達為
$$\left\{ \begin{array}{ll} F_{1} = 1, F_{2} = 1 \\ F_{n} = F_{(n - 1)} + F_{(n - 2)}, & n = 3, 4, 5, ... \end{array} \right.$$