2015/11/30

第一次數學危機

  整數在數線上的分佈是分散的,套個數學專有名詞,整數有「離散性」。離散性的意思:就是任意兩個不同整數之間的差距,都能保證會大於或等於某個距離。就整數而言,這個距離就是1。

  於是很久很久以前,數學家在想,那些不能用整數表示的,是真的存在嗎?像是0和1之間,還有數字嗎?其實答案並不難,例如把1對折成2份,就得到兩個1/2,而1/2是一個真實的數字,還可以跟布店老闆說要買「半呎布」,如果老闆有些數學常識,並不會因為當中的「半呎」而無法量出這樣的長度。

  有了1/2,就能衍生出1/3、1/4、1/5等等的數字,於是古希臘數學家把這類數字推廣為「整數的比值」,結果發現這些數找不到一個距離來滿足「離散性」,這個距離要多近就有多近,因為任兩個「整數的比值」之間,總能找到另一個「整數的比值」,例如0與1/2之間有1/4、0與1/4之間有1/8,甚至縮小到0與1/999999之間的空隙,空隙裡還有1/9999990,因此,若將全部的「整數的比值」數字化作點,是可以密到連成一條數線的,換句話說,它們中間找不到空隙,是連續的。

  若同意上段黃字敘述,就陷入「第一次數學危機」,古希臘數學家希帕索斯發現兩股為1的等腰直角三角形,它的斜邊長可以畫在數線上,卻不能用「整數的比值」表示。


  「整數的比值」組成的所有點,雖然密到一個極致,但仍是不連續的,因為被希帕索斯所發現的數字中斷了。這是一件令人費解的事,代表著「離散性」和「連續性」,並非是相反的概念,因為「整數的比值」不具有「離散性」,也不具有「連續性」,違背希帕索斯的老師──畢達哥拉斯──的直覺,傳說中,希帕索斯因為發現這個奇怪的數字,遭到無禮的對待:被丟進大海餵魚。為紀念他被無禮對待的人生悲劇,數學家將這種不能化為「整數的比值」的數字稱作「無禮數」。

  後來數學家正視到「離散」與「連續」並非是互補的關係,定義了新的名詞「稠密性:任兩整之間,必存在至少一數」來形容「整數的比值」的性質,關於「稠密性」與「連續性」的差異,可以參考均一教育平台的呂冠緯老師,所製作淺顯易懂的教學影片:




本篇參考:
維基百科-希帕索斯
呂冠緯YouTube-連續性、稠密性與離散性

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