階層狂想曲-複數定義篇

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　　「驚嘆號(!)」，在數學中為「階層」符號。而「階層」的定義，是由連續正整數的乘積而來，假設$n$是任意正整數，則「$n$階層」的意思就是
$$n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times (n - 1) \times n$$ 舉例來說，就是 $$\begin{eqnarray} 1! &=& 1 \\ 2! &=& 1 \times 2 = 2 \\ 3! &=& 1 \times 2 \times 3 = 6 \\ &\vdots& \end{eqnarray}$$
之後階層的定義域越來越廣，不僅是正整數，衍生出常見的$0! = 1$、又衍生出實數(例如$(-0.5)! = \sqrt{\pi})$，發展至今已包含所有複數(實數與虛數之和)了。而階層的通式則定義為在$x$軸平移$-1$的Gamma函數：
$$x! = \int_0^\infty t^x e^{-t} dt$$
因為擴張到複數定義域的階層定義，會符合最基礎的整數階層性質：
性質1. $1! = 1$
性質2. $(x + 1)! = (x + 1)x!$

要證明階層定義符合上面兩個性質，需要先認識一個積分工具「分部積分法」，為此，在這花一點點時間說明分部積分：
假設$u(x)$與$v(x)$為兩個可對$x$微分的函數，已知對兩函數的乘積做微分 $$\frac{d}{dx}u(x)v(x) = \frac{du(x)}{dx} v(x) + u(x) \frac{dv(x)}{dx}$$ 可用口訣『「前微後不微」加「前不微後微」』幫助記憶，將等號兩邊做不定積分 $$\begin{eqnarray} \int \frac{d}{dx}u(x)v(x) dx = \int \left( \frac{du(x)}{dx} v(x) + u(x) \frac{dv(x)}{dx} \right) dx \end{eqnarray}$$
左式的積分與微分對消，右式因為積分的加法具有分配律，可以分別積分後再相加，得到
$$u(x)v(x) = \int \frac{du(x)}{dx} v(x) dx + \int u(x) \frac{dv(x)}{dx} dx$$
利用等量加(減)法公理，可整理為
$$\int u(x) \frac{dv(x)}{dx} dx = u(x)v(x) - \int \frac{du(x)}{dx} v(x) dx$$
回到階層的性質證明，以下，將證明性質1與性質2：


證明當$1! = 1$：

　　令$u(t) = t$，將兩邊微分可得$du(t) = dt$；
　　令$dv(t) = e^{-t}dt$，將兩邊積分可得$v(t) = -e^{-t}$。
$$\begin{eqnarray} 1! &=& \int_0^\infty t^1 e^{-t} dt \\ &=& \int_0^\infty u(t) dv(t) \\ &=& \left. u(t)v(t) \right|_0^\infty - \int_0^\infty \frac{du(t)}{dt} v(t) dt \\ &=& \left. -te^{-t} \right|_0^\infty - \int_0^\infty -e^{-t} dt \\ &=& \left. -te^{-t} \right|_0^\infty - \left. e^{-t} \right|_0^\infty \\ &=& (0 - 0) - (0 - 1) \\ &=& 1 \end{eqnarray}$$
　　得證。


證明當$(x + 1)! = (x + 1)x!$：

　　令$u(t) = t^{x + 1}$，將兩邊微分可得$du(t) = (x + 1)t^{x}dt$；
　　令$dv(t) = e^{-t}dt$，將兩邊積分可得$v(t) = -e^{-t}$。
$$\begin{eqnarray} (x + 1)! &=& \int_0^\infty t^{x + 1} e^{-t} dt \\ &=& \int_0^\infty u(t) dv(t) \\ &=& \left. u(t)v(t) \right|_0^\infty - \int_0^\infty \frac{du(t)}{dt} v(t) dt \\ &=& \left. -t^{x + 1}e^{-t} \right|_0^\infty - \int_0^\infty -(x + 1)t^{x}e^{-t} dt \\ &=& \left. -t^{x + 1}e^{-t} \right|_0^\infty + (x + 1) \int_0^\infty t^{x}e^{-t} dt \\ &=& (0 - 0) + (x + 1)x! \\ &=& (x + 1)x! \end{eqnarray}$$
　　得證。


本篇參考：
維基百科-階乘
中華科大數學組-GAMMA函數的性質