被跳過的正五邊形

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　　「尺規作圖」是用沒有刻度的直尺和圓規，以「直線」與「圓」(包含「弧」)所組合出的平面幾何，尺規作圖有兩種基本功：「中垂線」與「角平分線」，中垂線能垂直的平分任意線段，角平分線能平分任意銳角，藉由「中垂線」與「角平分線」的幫助，我們可以輕易的作出正三角形、正方形、正六邊形，甚至高斯還能畫出正十七邊形，成為令人津津樂道的數學傳奇。那正五邊形呢？學校好像沒教到正五邊形怎麼畫呢！

　　「尺規作圖」作出正五邊形之前，要先認識一個特別的等腰三角形，就是頂角為$36^\circ$的等腰三角形，它的特別之處，就是將其中一個底角作角平分線，可分出另一個與它相似的小三角形，如下圖中，$\triangle ABC$與$\triangle BCD$均為頂角$36^\circ$的等腰三角形。

　　唯有當等腰三角形的頂角為$36^\circ$時，才會有這樣的奇特性質，證明很簡單，假設等腰三角形的頂角為$a^\circ$，因為底角是頂角的2倍，所以兩個底角均為$2a^\circ$，由三角形內角和為$180^\circ$，可知 $$\begin{eqnarray} a^\circ + 2a^\circ + 2a^\circ &=& 180^\circ \\ a^\circ &=& 36^\circ \end{eqnarray}$$ 　　因為$\angle BCD = \angle BDC = 72^\circ$，所以$\color{aqua}{\overline{BC}} = \color{aqua}{\overline{BD}}$，又因為$\angle DAB = \angle DBA = 36^\circ$，所以$\color{aqua}{\overline{BD}} = \color{aqua}{\overline{AD}}$，現在來求$\triangle ABC$各邊長之間的關係，利用兩個相似三角形可知 $$\color{fuchsia}{\overline{AB}} : \color{aqua}{\overline{BC}} = \color{aqua}{\overline{BC}} : \overline{CD}$$ 比的等式具有「內項積等於外項積」的性質： $$\begin{eqnarray} \color{aqua}{\overline{BC}^2} &=& \color{fuchsia}{\overline{AB}} \times \overline{CD} \\ &=& \color{fuchsia}{\overline{AB}} \times (\color{fuchsia}{\overline{AC}} - \color{aqua}{\overline{AD}}) \\ &=& \color{fuchsia}{\overline{AB}} \times (\color{fuchsia}{\overline{AB}} - \color{aqua}{\overline{BD}}) \\ &=& \color{fuchsia}{\overline{AB}} \times (\color{fuchsia}{\overline{AB}} - \color{aqua}{\overline{BC}}) \\ &=& \color{fuchsia}{\overline{AB}}^2 - \color{fuchsia}{\overline{AB}} \cdot \color{aqua}{\overline{BC}} \end{eqnarray}$$ 使用配方法： $$\begin{eqnarray} \biggl( \color{aqua}{\overline{BC}} + \frac{1}{2}\color{fuchsia}{\overline{AB}} \biggr)^2 &=& \color{fuchsia}{\overline{AB}}^2 - \color{fuchsia}{\overline{AB}} \cdot \color{aqua}{\overline{BC}} + \biggl[ \color{fuchsia}{\overline{AB}} \cdot \color{aqua}{\overline{BC}} + \biggl( \frac{1}{2}\color{fuchsia}{\overline{AB}} \biggr)^2 \biggr]\\ \color{aqua}{\overline{BC}} + \frac{1}{2}\color{fuchsia}{\overline{AB}} &=& \pm \sqrt{ \color{fuchsia}{\overline{AB}}^2 + \biggl( \frac{1}{2}\color{fuchsia}{\overline{AB}} \biggr)^2 } \end{eqnarray}$$ 其中負不合，得到 $$\color{aqua}{\overline{BC}} = \sqrt{ \color{fuchsia}{\overline{AB}}^2 + \biggl( \frac{1}{2}\color{fuchsia}{\overline{AB}} \biggr)^2 } - \frac{1}{2}\color{fuchsia}{\overline{AB}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \color{fuchsia}{\overline{AB}}$$ 所以$\triangle ABC$的邊長比為 $$\color{fuchsia}{\overline{AB}} : \color{fuchsia}{\overline{AC}} : \color{aqua}{\overline{BC}} = 2 : 2 : (\sqrt{5} - 1)$$ 若邊長比為$2:2:(\sqrt{5} - 1)$的三角形，三個內角就是$72^\circ$、$72^\circ$、$36^\circ$，如下圖。

　　獲得$72^\circ$、$72^\circ$、$36^\circ$的三角形邊長比之後，終於能放心的正式進入「尺規作圖正五邊形」主題：

1. 作一適當長$\overline{AB}$。
2. 作$\overline{AB}$之中垂線，交$\overline{AB}$為$O$。
3. 以$O$為圓心、$\overline{OA}$為半徑畫圓$O$，交$\overline{AB}$之中垂線其中一點為$C$。
4. 取$\overline{OA}$之中點為$D$。
5. 作$\overline{CD}$。
6. 以$D$為圓心、$\overline{CD}$為半徑，畫弧，交$\overline{AB}$為$E$。

　　依據「商高定理」(或稱「畢達哥拉斯定理」)，作出兩股分別為$1$與$2$的直角三角形，其斜邊就是$\sqrt{5}$，所以$\overline{OC}$與$\overline{CD}$的比例為$2:\sqrt{5}$，因為$\overline{OD} + \overline{OE} = \overline{DE}$，所以$\overline{OC}$與$\overline{OE}$的比例為$2:(\sqrt{5} - 1)$。

7. 以$O$為圓心、$\overline{OE}$為半徑，作弧。以$C$為圓心、$\overline{OC}$為半徑，作弧。兩弧交於$F$。
8. 作$\overrightarrow{OF}$，交圓$O$於$G$。

　　絞盡腦汁的畫出邊長比為$2:2:(\sqrt{5} - 1)$的三角形，就是為了畫$72^\circ$，可知$C$與$G$即為正五邊形的相鄰兩個頂點，順水推舟，來完成正五邊形吧！

9. 以$G$為圓心、$\overline{CG}$為半徑，作弧交圓$O$於$H$。
10. 以$H$為圓心、$\overline{CG}$為半徑，作弧交圓$O$於$I$。
11. 以$I$為圓心、$\overline{CG}$為半徑，作弧交圓$O$於$J$。
12. 作$\overline{CG}$、$\overline{GH}$、$\overline{HI}$、$\overline{IJ}$、$\overline{JC}$。

　　哇！完成正五邊形了！(拍手)

　　其實，可以跳過第7步驟的$F$，直接畫出第8步驟的$G$，意即再省一步，也能畫出正五邊形，答案在昌爸工作坊可以找得到，關鍵就是算出頂角為$72^\circ$的等腰三角形，兩腰與底邊的比例是多少？但計算相對複雜，此篇就先用頂角為$36^\circ$的等腰三角形，作為畫正五邊形的入門。

本篇參考：
大哉言數-求cos 72度
昌爸工作坊-尺規作圖正多邊形