2016/1/31

階層狂想曲-複數定義篇

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  「驚嘆號(!)」,在數學中為「階層」符號。而「階層」的定義,是由連續正整數的乘積而來,假設\(n\)是任意正整數,則「\(n\)階層」的意思就是
$$ n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times (n - 1) \times n $$ 舉例來說,就是 $$ \begin{eqnarray} 1! &=& 1 \\ 2! &=& 1 \times 2 = 2 \\ 3! &=& 1 \times 2 \times 3 = 6 \\ &\vdots& \end{eqnarray} $$
之後階層的定義域越來越廣,不僅是正整數,衍生出常見的\(0! = 1\)、又衍生出實數(例如\((-0.5)! = \sqrt{\pi})\),發展至今已包含所有複數(實數與虛數之和)了。而階層的通式則定義為在\(x\)軸平移\(-1\)的Gamma函數:
$$ x! = \int_0^\infty t^x e^{-t} dt $$

2016/1/21

第二次數學危機

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  16世紀,萊布尼茲、牛頓幾乎同時發明「微積分」,但帶來的「第二次數學危機」,兩位大師在有生之年,卻無法搞定。

  故事要從什麼是「變化量」說起:首先,考慮兩個函數: $$ \begin{eqnarray} f_{1}(x) &=& 2x \\ f_{2}(x) &=& 4x \end{eqnarray} $$ 2和4分別就是這兩個函數中,每個單位的變化量,因為當\(y = f_{1}(x)\)時,\(x\)每增加1,\(y\)也增加2;當\(y = f_{2}(x)\)時,\(x\)每增加1,\(y\)就增加4。為了看起來很專業,用成數學符號表示: $$ \frac{dy}{dx} $$ \(dx\)與\(dy\)分別代表著\(x\)很微小的變化值與相對應\(y\)的變化值,例如上面的\(y = f_{1}(x)\)與\(y = f_{2}(x)\)變化量2、4,可以用定義求得: $$ \begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} &=& \frac{f_{1}(x + dx) - f_{1}(x)}{dx} = \frac{2(x + dx) - 2x}{dx} = 2 \\ \frac{dy}{dx} &=& \frac{f_{2}(x + dx) - f_{2}(x)}{dx} = \frac{4(x + dx) - 4x}{dx} = 4 \end{eqnarray} $$