第二次數學危機

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　　16世紀，萊布尼茲、牛頓幾乎同時發明「微積分」，但帶來的「第二次數學危機」，兩位大師在有生之年，卻無法搞定。

　　故事要從什麼是「變化量」說起：首先，考慮兩個函數： $$\begin{eqnarray} f_{1}(x) &=& 2x \\ f_{2}(x) &=& 4x \end{eqnarray}$$ 2和4分別就是這兩個函數中，每個單位的變化量，因為當$y = f_{1}(x)$時，$x$每增加1，$y$也增加2；當$y = f_{2}(x)$時，$x$每增加1，$y$就增加4。為了看起來很專業，用成數學符號表示： $$\frac{dy}{dx}$$ $dx$與$dy$分別代表著$x$很微小的變化值與相對應$y$的變化值，例如上面的$y = f_{1}(x)$與$y = f_{2}(x)$變化量2、4，可以用定義求得： $$\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} &=& \frac{f_{1}(x + dx) - f_{1}(x)}{dx} = \frac{2(x + dx) - 2x}{dx} = 2 \\ \frac{dy}{dx} &=& \frac{f_{2}(x + dx) - f_{2}(x)}{dx} = \frac{4(x + dx) - 4x}{dx} = 4 \end{eqnarray}$$

　　以圖形的角度來看，$y = 4x$比起$y = 2x$，在$x$-$y$座標平面較斜。所以一個函數$y = f(x)$的變化量，可想像成在座標平面有多斜，若變化愈越劇烈，在座標平面上就愈斜。想像一下，若$y = f(x)$是一座山，往$x$軸由小到大的方向爬，當變化量是正的時候，就是上坡；當變化量是負的時候，就是下坡。

　　「$dy / dx$」的計算方式，可以求出某個位置的單位變化量，例如想知道$f_{1}(x)$與$f_{2}(x)$兩函數圖形，在$x = 2$這個點時，到底斜坡有多陡呢？因為$dx$極小，暫時用「逼近」的想法去理解，就像下方的動圖：

　　當然，無論$x$是在那個實數上，$f_{1}(x)$與$f_{2}(x)$得到的單位變化量「$dy / dx$」值均為2與4，是不變的，因為它們的函數圖形都是直線。假設這座山是有高低起伏的，例如$f(x) = x^{2}$，在爬到$x = 2$這個點時，到底斜坡有多陡呢？ $$\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} &=& \frac{f(2 + dx) - f(2)}{dx} \\ &=& \frac{(2 + dx)^{2} - 2^{2}}{dx} \\ &=& \frac{[4 + 4dx + (dx)^{2}] - 4}{dx} \\ &=& 4 + dx \end{eqnarray}$$ 上式最終得到的$4 + dx$，可說是$x$從2到$(2 + dx)$的平均坡度，所以只求$(x = 2)$時，就可以把$dx$看成0，於是 $$\frac{dy}{dx} = 4 + dx = 4$$ 漂亮的算出$x = 2$時的坡度，原來跟$y = 4x$同樣陡，此時，$dx$就自我崩潰了：「一下說我是0，一下說我不是0，都給你們說就好啦！」怎麼回事呢？仔細來瞧：一開始單位變化量的定義「$dy / dx$」，$dx$在分母，不可能等於0，但在最後一步$4 + dx = 4$，卻又要$dx$等於0，明顯矛盾。到底$dx$是什麼？引爆了「第二次數學危機」！

　　數學家給這似0非0性質的數字，取了一個名字：「無窮小量」。在第二次數學危機的時期，許多的數學家無法接受「無窮小量」放入計算中，並且相信這樣的計算必定會有誤差，當時的英國主教──哲學家貝克萊──就以「詭辯」作為批判，甚至連數學論文製造機──歐拉大師──也反駁：若每一粒灰塵的重量都可視為0，那將全部的灰塵加總成的整顆地球就沒有重量。

　　有些人會說：「『無窮小量』就是一個很趨近0的數啊！」，「趨近0」在直觀上似乎可以解釋，但有否注意到，上面在探討$f(x) = x^{2}$在$x = 2$的坡度，數學符號是用「等於4」，而不是「趨近於4」，而且在力學與幾何學，也驗證這個等號的成立。於是，當工程師與科學家很歡樂的使用這種計算時，數學家卻為似0非0的「無窮小量」而苦惱，認為這是「以錯誤的方法，求出正確的答案」，卻不能解釋為什麼答案是正確的。

　　數學界受「第二次數學危機」浩劫近200年，創立複變函數的法國數學家──柯西，在1821年出版《分析教程》，對於「極限」提出嚴謹的定義，也用數學式定義「無窮小量」，率先以「變量」的方式描述「無窮小量」。柯西認為「無窮小量」並非像0一樣是個「明確的量」，因為想要它多接近0就可以多接近0，所以它的本質是個「會變化的量」，而且與0最小的極限距離是0。柯西的「變量」論點，為「第二次數學危機」的解答點亮一展明燈，柯西也被視為「第二次數學危機」的拯救者，柯西逝世之後，魏爾斯特拉斯延續柯西的極限概念，打穩「微積分」最後一塊磐石，完整化解「第二次數學危機」。


本篇參考：
百度百科-第二次數學危機
百度百科-極限理論
逢甲應數系-數學史6.1章
從數學史上的「三次危機」談現代科學的局限性
維基百科-無窮小量
維基百科-變數