此篇數學式使用MathJax表示，請開啟瀏覽器對Java的支援。
6是個「完美數」，因為6很美妙的等於除自己之外的因數總和：\(6 = 1 + 2 + 3\)，第2個完美數是28，因為\(28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14\)，那第3個完美數是誰呢？這樣美麗的性質，是不是有一種衝動想探索她們的蹤影？
很遺憾的，即使現在有超級電腦，今日尚未找到一位女神是單身！尚未找到一個完美數是奇數，但另一方面，數學成就嚇死人的歐基理德，在西元前300年間，就發現一個偶數完美數的規則：「若一個偶數是完美數，則它一定是以\(2^{n - 1}(2^{n} - 1)\)的型式存在」，姑且代入數字感覺一下： $$ \begin{array}{r|l} n & 2^{n - 1}(2^{n} - 1) \\ \hline 1 & 1 \times 1 = 1 \\ 2 & 2 \times 3 = 6 \\ 3 & 4 \times 7 = 28 \\ 4 & 8 \times 15 = 120 \\ 5 & 16 \times 31 = 496 \\ 6 & 32 \times 63 = 2016 \\ 7 & 64 \times 127 = 8128 \end{array} $$
數字1是個怪咖，除了自己之外沒有別的
數字1、120、2016的反例，是否代表歐基理德發現的規則是錯的呢？做個澄清，在規則中，只提到偶數的完美數都是\(2^{n - 1}(2^{n} - 1)\)的型式，並非說\(2^{n - 1}(2^{n} - 1)\)都是完美數。那能不能找到其他型式的完美數呢？不！這已經被完整證明了：
任意偶數皆可用通式\(2^{n - 1}(2m - 1)\)表示，其中\(n\)、\(m\)均為正整數，且\(n > 1\)，假設\((2m - 1)\)有\(k\)個因數，將這些因數由小至大排列：\(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{k}\)，其中有兩個因數是我們已經知道的，就是\(1\)和\((2m - 1)\)本身：\(a_{1} = 1\)、\(a_{k} = 2m - 1\)。
首先分析\(2^{n - 1}\)的因數總和，\(2^{n - 1}\)所有因數為\(2^{0}\)、\(2^{1}\)、\(2^{2}\)、…、\(2^{n - 1}\)，因數總和也就是等比級數\(S = 2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + \dots + 2^{n - 1}\)，可藉由\(S\)與其2倍之差算出：
$$ \begin{eqnarray} S &=& 2S - S \\ &=& (2^{1} + 2^{2} + \dots + 2^{n - 1} + 2^{n}) - (2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + \dots + 2^{n - 1}) \\ &=& 2^{n} - 2^{0} \\ &=& 2^{n} - 1 \end{eqnarray} $$
由於\((2m - 1)\)為奇數，可知\(2^{n}\)與\((2m - 1)\)互質，所以\(2^{n}(2m - 1)\)的全部因數為
$$ \begin{array}{ccccc} 2^{0}a_{1} & 2^{1}a_{1} & 2^{2}a_{1} & \cdots & 2^{n - 1}a_{1} \\ 2^{0}a_{2} & 2^{1}a_{2} & 2^{2}a_{2} & \cdots & 2^{n - 1}a_{2} \\ 2^{0}a_{3} & 2^{1}a_{3} & 2^{2}a_{3} & \cdots & 2^{n - 1}a_{3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 2^{0}a_{k} & 2^{1}a_{k} & 2^{2}a_{k} & \cdots & 2^{n - 1}a_{k} \end{array} $$
因為分配率，因數總和如下：
$$ \begin{eqnarray} & & (2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + \dots + 2^{n - 1})(a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{k}) \\ &=& (2^{n} - 1)(a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{k}) \\ \end{eqnarray} $$
若\(2^{n - 1}(2m - 1)\)是完美數，則上面的因數全部加起來，要等於自己的2倍，也就是因數總和要等於\(2^{n}(2m - 1)\)，所以
$$ 2^{n}(2m - 1) = (2^{n} - 1)(a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{k}) $$
因為\((2m - 1)\)與\((2^{n} - 1)\)為奇數，所以\((a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{k})\)一定是\(2^{n}\)的倍數，等號兩邊同除以\(2^{n}\)得到
$$ 2m - 1 = (2^{n} - 1)[(a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{k}) / 2^{n}] $$
由此可知\((2m - 1)\)的因數肯定有 $$ [(a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{k}) / 2^{n}] $$ 和 $$ (2^{n} - 1)[(a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{k}) / 2^{n}] $$ 將這兩個因數加起來等於\((a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{k})\)，發現正巧等於\((2m - 1)\)全部因數的總合，這就表示其實\(k = 2\)，\((2m - 1)\)只有\(1\)和它自己這2個因數：
$$ \begin{eqnarray} a_{1} &=& \color{magenta}{1} \\ &=& \color{magenta}{[(a_{1} + a_{2}) / 2^{n}]} \\ \\ a_{2} &=& \color{aqua}{2m - 1} \\ &=& (2^{n} - 1) \color{magenta}{[(a_{1} + a_{2}) / 2^{n}]} \\ &=& (2^{n} - 1) \times \color{magenta}{1} \\ &=& \color{aqua}{2^{n} - 1} \end{eqnarray} $$
所以偶數的完美數\(2^{n - 1}(2m - 1)\)均可表示為\(2^{n - 1}(2^{n} - 1)\)，得證。
現在已經證明了全部的偶數完美數都可以用\(2^{n - 1}(2^{n} - 1)\)表示，而且還知道當中的\((2^{n} - 1)\)是一個質數，因為它只有兩個因數，這樣的結果，不僅懷疑，是不是「當\((2^{n} - 1)\)是質數時，\(2^{n - 1}(2^{n} - 1)\)一定是完美數」呢？事實上，這也是數學成就嚇死人的歐基理德當時提出的反向規則，觀察一下前四個完美數，它們的奇數因數3、7、13、127還真的都是質數呢！要證明這個反向規則，依上個證明，\(2^{n - 1}(2^{n} - 1)\)不包括自己的因數總和為
$$ \begin{eqnarray} & & \color{aqua}{(2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + … + 2^{n - 1})}(a_{1} + a_{2}) - \color{magenta}{2^{n - 1}} \color{aqua}{(2^{n} - 1)} \\ &=& \color{aqua}{(2^{n} - 1)}[1 + (2^{n} - 1)] - \color{magenta}{2^{n - 1}} \color{aqua}{(2^{n} - 1)} \\ &=& [1 + (2^{n} - 1) - \color{magenta}{2^{n - 1}}]\color{aqua}{(2^{n} - 1)} \\ &=& (2^{n} - \color{magenta}{2^{n - 1}})\color{aqua}{(2^{n} - 1)} \\ &=& 2^{n - 1}\color{aqua}{(2^{n} - 1)} \end{eqnarray} $$
也就是它自己，所以當\((2^{n} - 1)\)是質數時，\(2^{n - 1}(2^{n} - 1)\)必定是「完美數」，得證。
本篇參考：
A proof that all even perfect numbers are a power of two times a Mersenne prime
沒有留言:
張貼留言