整數中的女神：完美數

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　　6是個「完美數」，因為6很美妙的等於除自己之外的因數總和：$6 = 1 + 2 + 3$，第2個完美數是28，因為$28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14$，那第3個完美數是誰呢？這樣美麗的性質，是不是有一種衝動想探索她們的蹤影？

　　很遺憾的，即使現在有超級電腦，今日尚未找到一位女神是單身！尚未找到一個完美數是奇數，但另一方面，數學成就嚇死人的歐基理德，在西元前300年間，就發現一個偶數完美數的規則：「若一個偶數是完美數，則它一定是以$2^{n - 1}(2^{n} - 1)$的型式存在」，姑且代入數字感覺一下： $$\begin{array}{r|l} n & 2^{n - 1}(2^{n} - 1) \\ \hline 1 & 1 \times 1 = 1 \\ 2 & 2 \times 3 = 6 \\ 3 & 4 \times 7 = 28 \\ 4 & 8 \times 15 = 120 \\ 5 & 16 \times 31 = 496 \\ 6 & 32 \times 63 = 2016 \\ 7 & 64 \times 127 = 8128 \end{array}$$
　　數字1是個怪咖，除了自己之外沒有別的朋友因數，從古至今的數學家都不認為1是完美數；120也不是，因為120 除自己之外的因數總和為216 ( = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 30 + 40 + 60)；同樣的，2016也不是，2016除自己之外的因數總和為4419 ( = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 9 + 12 + 14 + 16 + 18 + 24 + 28 + 32 + 36 + 42 + 48 + 56 + 63 + 72 + 84 + 112 + 126 + 144 + 168 + 224 + 252 + 288 + 336 + 504 + 672 + 1008)；相反的，496就是第3個完美數，8128是第4個。

　　數字1、120、2016的反例，是否代表歐基理德發現的規則是錯的呢？做個澄清，在規則中，只提到偶數的完美數都是$2^{n - 1}(2^{n} - 1)$的型式，並非說$2^{n - 1}(2^{n} - 1)$都是完美數。那能不能找到其他型式的完美數呢？不！這已經被完整證明了：

　　任意偶數皆可用通式$2^{n - 1}(2m - 1)$表示，其中$n$、$m$均為正整數，且$n > 1$，假設$(2m - 1)$有$k$個因數，將這些因數由小至大排列：$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{k}$，其中有兩個因數是我們已經知道的，就是$1$和$(2m - 1)$本身：$a_{1} = 1$、$a_{k} = 2m - 1$。

　　首先分析$2^{n - 1}$的因數總和，$2^{n - 1}$所有因數為$2^{0}$、$2^{1}$、$2^{2}$、…、$2^{n - 1}$，因數總和也就是等比級數$S = 2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + \dots + 2^{n - 1}$，可藉由$S$與其2倍之差算出：
$$\begin{eqnarray} S &=& 2S - S \\ &=& (2^{1} + 2^{2} + \dots + 2^{n - 1} + 2^{n}) - (2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + \dots + 2^{n - 1}) \\ &=& 2^{n} - 2^{0} \\ &=& 2^{n} - 1 \end{eqnarray}$$
由於$(2m - 1)$為奇數，可知$2^{n}$與$(2m - 1)$互質，所以$2^{n}(2m - 1)$的全部因數為
$$\begin{array}{ccccc} 2^{0}a_{1} & 2^{1}a_{1} & 2^{2}a_{1} & \cdots & 2^{n - 1}a_{1} \\ 2^{0}a_{2} & 2^{1}a_{2} & 2^{2}a_{2} & \cdots & 2^{n - 1}a_{2} \\ 2^{0}a_{3} & 2^{1}a_{3} & 2^{2}a_{3} & \cdots & 2^{n - 1}a_{3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 2^{0}a_{k} & 2^{1}a_{k} & 2^{2}a_{k} & \cdots & 2^{n - 1}a_{k} \end{array}$$
因為分配率，因數總和如下：
$$\begin{eqnarray} & & (2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + \dots + 2^{n - 1})(a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{k}) \\ &=& (2^{n} - 1)(a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{k}) \\ \end{eqnarray}$$
若$2^{n - 1}(2m - 1)$是完美數，則上面的因數全部加起來，要等於自己的2倍，也就是因數總和要等於$2^{n}(2m - 1)$，所以
$$2^{n}(2m - 1) = (2^{n} - 1)(a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{k})$$
因為$(2m - 1)$與$(2^{n} - 1)$為奇數，所以$(a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{k})$一定是$2^{n}$的倍數，等號兩邊同除以$2^{n}$得到
$$2m - 1 = (2^{n} - 1)[(a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{k}) / 2^{n}]$$
由此可知$(2m - 1)$的因數肯定有 $$[(a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{k}) / 2^{n}]$$ 和 $$(2^{n} - 1)[(a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{k}) / 2^{n}]$$ 將這兩個因數加起來等於$(a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{k})$，發現正巧等於$(2m - 1)$全部因數的總合，這就表示其實$k = 2$，$(2m - 1)$只有$1$和它自己這2個因數：
$$\begin{eqnarray} a_{1} &=& \color{magenta}{1} \\ &=& \color{magenta}{[(a_{1} + a_{2}) / 2^{n}]} \\ \\ a_{2} &=& \color{aqua}{2m - 1} \\ &=& (2^{n} - 1) \color{magenta}{[(a_{1} + a_{2}) / 2^{n}]} \\ &=& (2^{n} - 1) \times \color{magenta}{1} \\ &=& \color{aqua}{2^{n} - 1} \end{eqnarray}$$
所以偶數的完美數$2^{n - 1}(2m - 1)$均可表示為$2^{n - 1}(2^{n} - 1)$，得證。

　　現在已經證明了全部的偶數完美數都可以用$2^{n - 1}(2^{n} - 1)$表示，而且還知道當中的$(2^{n} - 1)$是一個質數，因為它只有兩個因數，這樣的結果，不僅懷疑，是不是「當$(2^{n} - 1)$是質數時，$2^{n - 1}(2^{n} - 1)$一定是完美數」呢？事實上，這也是數學成就嚇死人的歐基理德當時提出的反向規則，觀察一下前四個完美數，它們的奇數因數3、7、13、127還真的都是質數呢！要證明這個反向規則，依上個證明，$2^{n - 1}(2^{n} - 1)$不包括自己的因數總和為
$$\begin{eqnarray} & & \color{aqua}{(2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + … + 2^{n - 1})}(a_{1} + a_{2}) - \color{magenta}{2^{n - 1}} \color{aqua}{(2^{n} - 1)} \\ &=& \color{aqua}{(2^{n} - 1)}[1 + (2^{n} - 1)] - \color{magenta}{2^{n - 1}} \color{aqua}{(2^{n} - 1)} \\ &=& [1 + (2^{n} - 1) - \color{magenta}{2^{n - 1}}]\color{aqua}{(2^{n} - 1)} \\ &=& (2^{n} - \color{magenta}{2^{n - 1}})\color{aqua}{(2^{n} - 1)} \\ &=& 2^{n - 1}\color{aqua}{(2^{n} - 1)} \end{eqnarray}$$
也就是它自己，所以當$(2^{n} - 1)$是質數時，$2^{n - 1}(2^{n} - 1)$必定是「完美數」，得證。

本篇參考：
A proof that all even perfect numbers are a power of two times a Mersenne prime