階層狂想曲-複數定義篇

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　　「驚嘆號(!)」，在數學中為「階層」符號。而「階層」的定義，是由連續正整數的乘積而來，假設$n$是任意正整數，則「$n$階層」的意思就是
$$n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times (n - 1) \times n$$ 舉例來說，就是 $$\begin{eqnarray} 1! &=& 1 \\ 2! &=& 1 \times 2 = 2 \\ 3! &=& 1 \times 2 \times 3 = 6 \\ &\vdots& \end{eqnarray}$$
之後階層的定義域越來越廣，不僅是正整數，衍生出常見的$0! = 1$、又衍生出實數(例如$(-0.5)! = \sqrt{\pi})$，發展至今已包含所有複數(實數與虛數之和)了。而階層的通式則定義為在$x$軸平移$-1$的Gamma函數：
$$x! = \int_0^\infty t^x e^{-t} dt$$

第二次數學危機

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　　16世紀，萊布尼茲、牛頓幾乎同時發明「微積分」，但帶來的「第二次數學危機」，兩位大師在有生之年，卻無法搞定。

　　故事要從什麼是「變化量」說起：首先，考慮兩個函數： $$\begin{eqnarray} f_{1}(x) &=& 2x \\ f_{2}(x) &=& 4x \end{eqnarray}$$ 2和4分別就是這兩個函數中，每個單位的變化量，因為當$y = f_{1}(x)$時，$x$每增加1，$y$也增加2；當$y = f_{2}(x)$時，$x$每增加1，$y$就增加4。為了看起來很專業，用成數學符號表示： $$\frac{dy}{dx}$$ $dx$與$dy$分別代表著$x$很微小的變化值與相對應$y$的變化值，例如上面的$y = f_{1}(x)$與$y = f_{2}(x)$變化量2、4，可以用定義求得： $$\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} &=& \frac{f_{1}(x + dx) - f_{1}(x)}{dx} = \frac{2(x + dx) - 2x}{dx} = 2 \\ \frac{dy}{dx} &=& \frac{f_{2}(x + dx) - f_{2}(x)}{dx} = \frac{4(x + dx) - 4x}{dx} = 4 \end{eqnarray}$$