2015/8/31

0.999...?你在那邊鬧!

  循環小數0.999... = 1,應該是台灣每個高中生學到時,都會抗拒的等式吧!

  一個簡單的證明方法:
因(0.999... × 10) - 0.999... = 0.999... × 9
又(0.999... × 10) - 0.999... = 9.999... - 0.999... = 9
所以得到0.999... × 9 = 9,等號兩邊同除以9推導出0.999... = 1。

  不過上面的證明,有一個令人困惑的點,就是0.999... × 10 = ?,想像一下有限小數0.999...99,它的10倍則為9.999...90,兩數相差就會小於9:
即(0.999...99 × 10) - 0.999...99 = 9.999...90 - 0.999...99 = 8.999...91 < 9
又(0.999...99 × 10) - 0.999...99 = 0.999...99 × 9
所以得到0.999...99 × 9 < 9,等號兩邊同除以9推導出0.999...99 < 1。
有限小數這樣的結果,是不是舒服多了!

  做個比較,由學生最熟悉的循環小數0.333...為例,多數人很容易的接受等式:0.333... = 1 / 3,但有限小數0.333...33,無論當中有幾個3,只要還在「有限」的範圍內,仍小於1 / 3,同樣的概念,為什麼0.999... = 1就如此容易被抗拒?筆者認為,可以由我國教育如何介紹循環小數的角度說起:

  「無限小數」可分為「循環小數」與「非循環小數」,也就是小數形式中的「有理數」和「無理數」,循環小數常被解釋為「以小數的型式來表示分數」,0.999... = 1被抗拒的原因,筆者主觀認為,其中一個很重要的因素,是因為若遵循正規長除法做轉換,沒有一個分數化小數後會是0.999...!是的,無論是1 / 1,或是3 / 3,化為小數後是1,頂多以循環小數1.000...表示,正規長除法的換算,無法得到0.999...這個數字。

  如上段說述,0.999...看起來真的是在那邊鬧!那0.999...是否只是數學家用現有的符號,任性創造一個不該存在的數字表示法呢?其實0.999...這種表示法,還是有其必要性,觀察以下兩式:
0.333... = 1 / 3
0.999... = 1
下式為上式等號兩邊同乘以3,是否看出些端倪?小數的四則運算可以直接創造出0.999... ,這個最鬧的循環小數,就此誕生。

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