費氏數列-等比推導篇

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　　在《費氏數列-矩陣推導篇》介紹過費氏數列：$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \dots$，以及使用「線性代數」的數學知識，求出$F_{n}$的通式，對於沒修過「線性代數」或「矩陣」的讀者來說不容易理解，這篇會用台灣教育的國中程度能夠一目了然的方法，求出$F_{n}$的通式。

　　定義一個「類費氏數列$F'$」，擁有與費氏數列「後項是前兩項之和」的特質，但起始值為$a_{1}$與$a_{2}$，也就是
$$\begin{eqnarray} F'_{1} &=& a_{1} \\ F'_{2} &=& a_{2} \\ F'_{3} &=& F'_{1} + F'_{2} = a_{1} + a_{2} \\ F'_{4} &=& F'_{2} + F'_{3} = a_{2} + (a_{1} + a_{2}) = a_{1} + 2a_{2} \\ F'_{5} &=& F'_{3} + F'_{4} = (a_{1} + a_{2}) + (a_{1} + 2a_{2}) = 2a_{1} + 3a_{2} \\ &\vdots& \end{eqnarray}$$

費氏數列 - 黃金比例篇

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　　費波那契數列：$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \dots$，規則是後項是前兩項之和，也就是當整數$n > 2$時，$F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2}$。假設$G$數列是費波那契數列的「前後項比值」，如下：
$$\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8}, \frac{21}{13}, \dots$$